Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 25$ .

Weisen Sie nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:

(1) Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x = 0$ die Steigung $- 15$ .

(2) Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A (5 ∣ f (5))$ die x-Achse als Tangente.

(3) Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B (- 1 ∣ f (- 1))$ kann durch die Gleichung $y = - 36 x - 36$ beschrieben werden.

(5 BE)

In dieser Aufgabe sollst du Steigungswerte und Tangenten einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnen

Teilaufgabe (1)

Berechne mit der 1. Ableitung von $f$ den Steigungswert für $x = 0$ .

$f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 18 x - 15$

$f^{'} (0) = - 15$

Teilaufgabe (2)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $A$ .

$f(5)=-125+9\cdot25-15\cdot5-25=0%$

Damit ist $A$ eine Nullstelle und die x-Achse Tangente, wenn $f^{'} (5) = 0$ .

$f'(5)=-3\cdot25+18\cdot5-15=0$

Alternative Überlegung:

Eine Nullstelle hat die x-Achse als Tangente, wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt.

Nachweis, dass $x = 5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ ist, durch eine Polynomdivision.

$(- x^{3} + 9 x^{2} - 15 x - 25) : (x - 5)^{2}$

$\begin {array} {l}(-x^3+9x^2-15x-25):(x^2-10x+25)=-x-1\\\hphantom{(} \underline {-x^3+10x^2-25x}\\\hphantom {(-x^3}-x^2+10x-25\\\hphantom{(-x^3+}\underline{-x^2+10x-25}\\\hphantom {(-x^3+9x^2-15x-} 0\end{array}$

Damit gilt: $f (x) = - (x + 1) (x - 5)^{2}$ .

Somit ist $x = 5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ und die Tangente im Punkt $A$ ist die x-Achse.

Teilaufgabe (3)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $B$ :

$f(-1)=+1+9\cdot 1 + 15-25=0$

$B (- 1 ∣ 0)$

$f^{'} (- 1) = - 3 - 18 - 15 = - 36$

Für die Geradengleichung der Tangente $t$ in $B$ gilt:

$t:\displaystyle \frac{y-y_B}{x-x_B} = f'(x_B)$

$t:\displaystyle \frac{y-0}{x+1}=-36\quad|\cdot (x+1)$

$t : y = - 36 x - 36$

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